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Matching statistic: St000337
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Mp00058: Perfect matchings —to permutation⟶ Permutations
St000337: Permutations ⟶ ℤResult quality: 100% ●values known / values provided: 100%●distinct values known / distinct values provided: 100%
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Values
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Description
The lec statistic, the sum of the inversion numbers of the hook factors of a permutation.
For a permutation $\sigma = p \tau_{1} \tau_{2} \cdots \tau_{k}$ in its hook factorization, [1] defines $$ \textrm{lec} \, \sigma = \sum_{1 \leq i \leq k} \textrm{inv} \, \tau_{i} \, ,$$ where $\textrm{inv} \, \tau_{i}$ is the number of inversions of $\tau_{i}$.
Matching statistic: St000834
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Mp00283: Perfect matchings —non-nesting-exceedence permutation⟶ Permutations
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St000834: Permutations ⟶ ℤResult quality: 80% ●values known / values provided: 81%●distinct values known / distinct values provided: 80%
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Description
The number of right outer peaks of a permutation.
A right outer peak in a permutation $w = [w_1,..., w_n]$ is either a position $i$ such that $w_{i-1} < w_i > w_{i+1}$ or $n$ if $w_n > w_{n-1}$.
In other words, it is a peak in the word $[w_1,..., w_n,0]$.
Matching statistic: St000353
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Values
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Description
The number of inner valleys of a permutation.
The number of valleys including the boundary is [[St000099]].
Matching statistic: St001115
(load all 2 compositions to match this statistic)
(load all 2 compositions to match this statistic)
Mp00283: Perfect matchings —non-nesting-exceedence permutation⟶ Permutations
Mp00159: Permutations —Demazure product with inverse⟶ Permutations
Mp00088: Permutations —Kreweras complement⟶ Permutations
St001115: Permutations ⟶ ℤResult quality: 73% ●values known / values provided: 73%●distinct values known / distinct values provided: 80%
Mp00159: Permutations —Demazure product with inverse⟶ Permutations
Mp00088: Permutations —Kreweras complement⟶ Permutations
St001115: Permutations ⟶ ℤResult quality: 73% ●values known / values provided: 73%●distinct values known / distinct values provided: 80%
Values
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Description
The number of even descents of a permutation.
Matching statistic: St000703
(load all 12 compositions to match this statistic)
(load all 12 compositions to match this statistic)
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St000703: Permutations ⟶ ℤResult quality: 60% ●values known / values provided: 60%●distinct values known / distinct values provided: 100%
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Values
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Description
The number of deficiencies of a permutation.
This is defined as
$$\operatorname{dec}(\sigma)=\#\{i:\sigma(i) < i\}.$$
The number of exceedances is [[St000155]].
Matching statistic: St000742
(load all 5 compositions to match this statistic)
(load all 5 compositions to match this statistic)
Mp00058: Perfect matchings —to permutation⟶ Permutations
Mp00159: Permutations —Demazure product with inverse⟶ Permutations
Mp00236: Permutations —Clarke-Steingrimsson-Zeng inverse⟶ Permutations
St000742: Permutations ⟶ ℤResult quality: 60% ●values known / values provided: 60%●distinct values known / distinct values provided: 80%
Mp00159: Permutations —Demazure product with inverse⟶ Permutations
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Values
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[(1,6),(2,3),(4,5),(7,8)]
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Description
The number of big ascents of a permutation after prepending zero.
Given a permutation $\pi$ of $\{1,\ldots,n\}$ we set $\pi(0) = 0$ and then count the number of indices $i \in \{0,\ldots,n-1\}$ such that $\pi(i+1) - \pi(i) > 1$.
It was shown in [1, Theorem 1.3] and in [2, Corollary 5.7] that this statistic is equidistributed with the number of descents ([[St000021]]).
G. Han provided a bijection on permutations sending this statistic to the number of descents [3] using a simple variant of the first fundamental transformation [[Mp00086]].
[[St000646]] is the statistic without the border condition $\pi(0) = 0$.
Matching statistic: St000718
(load all 2 compositions to match this statistic)
(load all 2 compositions to match this statistic)
Mp00150: Perfect matchings —to Dyck path⟶ Dyck paths
Mp00201: Dyck paths —Ringel⟶ Permutations
Mp00160: Permutations —graph of inversions⟶ Graphs
St000718: Graphs ⟶ ℤResult quality: 60% ●values known / values provided: 60%●distinct values known / distinct values provided: 80%
Mp00201: Dyck paths —Ringel⟶ Permutations
Mp00160: Permutations —graph of inversions⟶ Graphs
St000718: Graphs ⟶ ℤResult quality: 60% ●values known / values provided: 60%●distinct values known / distinct values provided: 80%
Values
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Description
The largest Laplacian eigenvalue of a graph if it is integral.
This statistic is undefined if the largest Laplacian eigenvalue of the graph is not integral.
Various results are collected in Section 3.9 of [1]
Matching statistic: St000035
(load all 17 compositions to match this statistic)
(load all 17 compositions to match this statistic)
Mp00058: Perfect matchings —to permutation⟶ Permutations
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Mp00236: Permutations —Clarke-Steingrimsson-Zeng inverse⟶ Permutations
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Values
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Description
The number of left outer peaks of a permutation.
A left outer peak in a permutation $w = [w_1,..., w_n]$ is either a position $i$ such that $w_{i-1} < w_i > w_{i+1}$ or $1$ if $w_1 > w_2$.
In other words, it is a peak in the word $[0,w_1,..., w_n]$.
This appears in [1, def.3.1]. The joint distribution with [[St000366]] is studied in [3], where left outer peaks are called ''exterior peaks''.
Matching statistic: St000884
(load all 3 compositions to match this statistic)
(load all 3 compositions to match this statistic)
Mp00058: Perfect matchings —to permutation⟶ Permutations
Mp00236: Permutations —Clarke-Steingrimsson-Zeng inverse⟶ Permutations
Mp00223: Permutations —runsort⟶ Permutations
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Mp00236: Permutations —Clarke-Steingrimsson-Zeng inverse⟶ Permutations
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Values
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Description
The number of isolated descents of a permutation.
A descent $i$ is isolated if neither $i+1$ nor $i-1$ are descents. If a permutation has only isolated descents, then it is called primitive in [1].
Matching statistic: St001086
(load all 2 compositions to match this statistic)
(load all 2 compositions to match this statistic)
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Description
The number of occurrences of the consecutive pattern 132 in a permutation.
This is the number of occurrences of the pattern $132$, where the matched entries are all adjacent.
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St000662The staircase size of the code of a permutation. St001907The number of Bastidas - Hohlweg - Saliola excedances of a signed permutation. St000050The depth or height of a binary tree. St000568The hook number of a binary tree. St000994The number of cycle peaks and the number of cycle valleys of a permutation. St000373The number of weak exceedences of a permutation that are also mid-points of a decreasing subsequence of length $3$. St001880The number of 2-Gorenstein indecomposable injective modules in the incidence algebra of the lattice. St000777The number of distinct eigenvalues of the distance Laplacian of a connected graph. St000259The diameter of a connected graph. St000007The number of saliances of the permutation. St000522The number of 1-protected nodes of a rooted tree. St000647The number of big descents of a permutation. St001039The maximal height of a column in the parallelogram polyomino associated with a Dyck path. St000031The number of cycles in the cycle decomposition of a permutation. St001232The number of indecomposable modules with projective dimension 2 for Nakayama algebras with global dimension at most 2. St000451The length of the longest pattern of the form k 1 2. St000891The number of distinct diagonal sums of a permutation matrix. St001879The number of indecomposable summands of the top of the first syzygy of the dual of the regular module in the incidence algebra of the lattice. St000068The number of minimal elements in a poset. St000245The number of ascents of a permutation. St000264The girth of a graph, which is not a tree. St000996The number of exclusive left-to-right maxima of a permutation. St000093The cardinality of a maximal independent set of vertices of a graph. St000352The Elizalde-Pak rank of a permutation. St001269The sum of the minimum of the number of exceedances and deficiencies in each cycle of a permutation. St000887The maximal number of nonzero entries on a diagonal of a permutation matrix. St001566The length of the longest arithmetic progression in a permutation. St001928The number of non-overlapping descents in a permutation. St000374The number of exclusive right-to-left minima of a permutation. St000786The maximal number of occurrences of a colour in a proper colouring of a graph. St000028The number of stack-sorts needed to sort a permutation. St001729The number of visible descents of a permutation. St000989The number of final rises of a permutation. St000306The bounce count of a Dyck path. St000528The height of a poset. St001343The dimension of the reduced incidence algebra of a poset. St000062The length of the longest increasing subsequence of the permutation. St000155The number of exceedances (also excedences) of a permutation. St000213The number of weak exceedances (also weak excedences) of a permutation. St000314The number of left-to-right-maxima of a permutation. St000925The number of topologically connected components of a set partition. St000991The number of right-to-left minima of a permutation. St001489The maximum of the number of descents and the number of inverse descents. St001517The length of a longest pair of twins in a permutation. St001667The maximal size of a pair of weak twins for a permutation. St001801Half the number of preimage-image pairs of different parity in a permutation. St000624The normalized sum of the minimal distances to a greater element. St001469The holeyness of a permutation. St001687The number of distinct positions of the pattern letter 2 in occurrences of 213 in a permutation. St000015The number of peaks of a Dyck path. St000021The number of descents of a permutation. St000075The orbit size of a standard tableau under promotion. St000092The number of outer peaks of a permutation. St000099The number of valleys of a permutation, including the boundary. St000211The rank of the set partition. St000243The number of cyclic valleys and cyclic peaks of a permutation. St000308The height of the tree associated to a permutation. St000316The number of non-left-to-right-maxima of a permutation. St000325The width of the tree associated to a permutation. St000329The number of evenly positioned ascents of the Dyck path, with the initial position equal to 1. St000333The dez statistic, the number of descents of a permutation after replacing fixed points by zeros. St000354The number of recoils of a permutation. St000362The size of a minimal vertex cover of a graph. St000387The matching number of a graph. St000470The number of runs in a permutation. St000542The number of left-to-right-minima of a permutation. St000619The number of cyclic descents of a permutation. St000684The global dimension of the LNakayama algebra associated to a Dyck path. St000686The finitistic dominant dimension of a Dyck path. St000702The number of weak deficiencies of a permutation. St000778The metric dimension of a graph. St000829The Ulam distance of a permutation to the identity permutation. St000955Number of times one has $Ext^i(D(A),A)>0$ for $i>0$ for the corresponding LNakayama algebra. St000971The smallest closer of a set partition. St000985The number of positive eigenvalues of the adjacency matrix of the graph. St001068Number of torsionless simple modules in the corresponding Nakayama algebra. St001114The number of odd descents of a permutation. St001142The projective dimension of the socle of the regular module as a bimodule in the Nakayama algebra corresponding to the Dyck path. St001194The injective dimension of $A/AfA$ in the corresponding Nakayama algebra $A$ when $Af$ is the minimal faithful projective-injective left $A$-module St001197The global dimension of $eAe$ for the corresponding Nakayama algebra $A$ with minimal faithful projective-injective module $eA$. St001205The number of non-simple indecomposable projective-injective modules of the algebra $eAe$ in the corresponding Nakayama algebra $A$ with minimal faithful projective-injective module $eA$. St001235The global dimension of the corresponding Comp-Nakayama algebra. St001337The upper domination number of a graph. St001338The upper irredundance number of a graph. St001461The number of topologically connected components of the chord diagram of a permutation. St001506Half the projective dimension of the unique simple module with even projective dimension in a magnitude 1 Nakayama algebra. St001642The Prague dimension of a graph. St001734The lettericity of a graph. St001737The number of descents of type 2 in a permutation. St001778The largest greatest common divisor of an element and its image in a permutation. St001812The biclique partition number of a graph. St001873For a Nakayama algebra corresponding to a Dyck path, we define the matrix C with entries the Hom-spaces between $e_i J$ and $e_j J$ (the radical of the indecomposable projective modules). St000023The number of inner peaks of a permutation. St000053The number of valleys of the Dyck path. St000080The rank of the poset. St000105The number of blocks in the set partition. St000162The number of nontrivial cycles in the cycle decomposition of a permutation. St000251The number of nonsingleton blocks of a set partition. St000253The crossing number of a set partition. St000254The nesting number of a set partition. St000360The number of occurrences of the pattern 32-1. St000541The number of indices greater than or equal to 2 of a permutation such that all smaller indices appear to its right. St000640The rank of the largest boolean interval in a poset. St000646The number of big ascents of a permutation. St000663The number of right floats of a permutation. St000688The global dimension minus the dominant dimension of the LNakayama algebra associated to a Dyck path. St000710The number of big deficiencies of a permutation. St000711The number of big exceedences of a permutation. St000836The number of descents of distance 2 of a permutation. St000837The number of ascents of distance 2 of a permutation. St000863The length of the first row of the shifted shape of a permutation. St000923The minimal number with no two order isomorphic substrings of this length in a permutation. St000970Number of peaks minus the dominant dimension of the corresponding LNakayama algebra. St001026The maximum of the projective dimensions of the indecomposable non-projective injective modules minus the minimum in the Nakayama algebra corresponding to the Dyck path. St001050The number of terminal closers of a set partition. St001164Number of indecomposable injective modules whose socle has projective dimension at most g-1 (g the global dimension) minus the number of indecomposable projective-injective modules. St001169Number of simple modules with projective dimension at least two in the corresponding Nakayama algebra. St001203We associate to a CNakayama algebra (a Nakayama algebra with a cyclic quiver) with Kupisch series $L=[c_0,c_1,...,c_{n-1}]$ such that $n=c_0 < c_i$ for all $i > 0$ a Dyck path as follows:
St001296The maximal torsionfree index of an indecomposable non-projective module in the corresponding Nakayama algebra. St001505The number of elements generated by the Dyck path as a map in the full transformation monoid. St001665The number of pure excedances of a permutation. St001674The number of vertices of the largest induced star graph in the graph. St001683The number of distinct positions of the pattern letter 3 in occurrences of 132 in a permutation. St001728The number of invisible descents of a permutation. St001784The minimum of the smallest closer and the second element of the block containing 1 in a set partition. St001839The number of excedances of a set partition. St001840The number of descents of a set partition. St000250The number of blocks (St000105) plus the number of antisingletons (St000248) of a set partition. St001028Number of simple modules with injective dimension equal to the dominant dimension in the Nakayama algebra corresponding to the Dyck path. St001166Number of indecomposable projective non-injective modules with dominant dimension equal to the global dimension plus the number of indecomposable projective injective modules in the corresponding Nakayama algebra. St000735The last entry on the main diagonal of a standard tableau. St000654The first descent of a permutation. St001198The number of simple modules in the algebra $eAe$ with projective dimension at most 1 in the corresponding Nakayama algebra $A$ with minimal faithful projective-injective module $eA$. St001206The maximal dimension of an indecomposable projective $eAe$-module (that is the height of the corresponding Dyck path) of the corresponding Nakayama algebra with minimal faithful projective-injective module $eA$. St000990The first ascent of a permutation. St001569The maximal modular displacement of a permutation. St001638The book thickness of a graph. St001174The Gorenstein dimension of the algebra $A/I$ when $I$ is the tilting module corresponding to the permutation in the Auslander algebra of $K[x]/(x^n)$. St001948The number of augmented double ascents of a permutation. St000782The indicator function of whether a given perfect matching is an L & P matching. St000671The maximin edge-connectivity for choosing a subgraph. St001427The number of descents of a signed permutation. St001621The number of atoms of a lattice. St001623The number of doubly irreducible elements of a lattice. St001626The number of maximal proper sublattices of a lattice. St000550The number of modular elements of a lattice. St000551The number of left modular elements of a lattice. St001044The number of pairs whose larger element is at most one more than half the size of the perfect matching.
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