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Matching statistic: St000672
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Mp00119: Dyck paths —to 321-avoiding permutation (Krattenthaler)⟶ Permutations
St000672: Permutations ⟶ ℤResult quality: 100% ●values known / values provided: 100%●distinct values known / distinct values provided: 100%
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Description
The number of minimal elements in Bruhat order not less than the permutation.
The minimal elements in question are biGrassmannian, that is
$$1\dots r\ \ a+1\dots b\ \ r+1\dots a\ \ b+1\dots$$
for some $(r,a,b)$.
This is also the size of Fulton's essential set of the reverse permutation, according to [ex.4.7, 2].
Matching statistic: St000372
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Mp00199: Dyck paths —prime Dyck path⟶ Dyck paths
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St000372: Permutations ⟶ ℤResult quality: 63% ●values known / values provided: 63%●distinct values known / distinct values provided: 100%
Mp00025: Dyck paths —to 132-avoiding permutation⟶ Permutations
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Description
The number of mid points of increasing subsequences of length 3 in a permutation.
For a permutation $\pi$ of $\{1,\ldots,n\}$, this is the number of indices $j$ such that there exist indices $i,k$ with $i < j < k$ and $\pi(i) < \pi(j) < \pi(k)$.
The generating function is given by [1].
Matching statistic: St001515
(load all 23 compositions to match this statistic)
(load all 23 compositions to match this statistic)
St001515: Dyck paths ⟶ ℤResult quality: 33% ●values known / values provided: 33%●distinct values known / distinct values provided: 83%
Values
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Description
The vector space dimension of the socle of the first syzygy module of the regular module (as a bimodule).
Matching statistic: St001083
Mp00033: Dyck paths —to two-row standard tableau⟶ Standard tableaux
Mp00081: Standard tableaux —reading word permutation⟶ Permutations
Mp00241: Permutations —invert Laguerre heap⟶ Permutations
St001083: Permutations ⟶ ℤResult quality: 33% ●values known / values provided: 33%●distinct values known / distinct values provided: 100%
Mp00081: Standard tableaux —reading word permutation⟶ Permutations
Mp00241: Permutations —invert Laguerre heap⟶ Permutations
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Values
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Description
The number of boxed occurrences of 132 in a permutation.
This is the number of occurrences of the pattern $132$ such that any entry between the three matched entries is either larger than the largest matched entry or smaller than the smallest matched entry.
Matching statistic: St000021
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Description
The number of descents of a permutation.
This can be described as an occurrence of the vincular mesh pattern ([2,1], {(1,0),(1,1),(1,2)}), i.e., the middle column is shaded, see [3].
Matching statistic: St000619
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Mp00031: Dyck paths —to 312-avoiding permutation⟶ Permutations
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Values
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Description
The number of cyclic descents of a permutation.
For a permutation $\pi$ of $\{1,\ldots,n\}$, this is given by the number of indices $1 \leq i \leq n$ such that $\pi(i) > \pi(i+1)$ where we set $\pi(n+1) = \pi(1)$.
Matching statistic: St000325
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Description
The width of the tree associated to a permutation.
A permutation can be mapped to a rooted tree with vertices $\{0,1,2,\ldots,n\}$ and root $0$ in the following way. Entries of the permutations are inserted one after the other, each child is larger than its parent and the children are in strict order from left to right. Details of the construction are found in [1].
The width of the tree is given by the number of leaves of this tree.
Note that, due to the construction of this tree, the width of the tree is always one more than the number of descents [[St000021]]. This also matches the number of runs in a permutation [[St000470]].
See also [[St000308]] for the height of this tree.
Matching statistic: St000470
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Mp00031: Dyck paths —to 312-avoiding permutation⟶ Permutations
Mp00068: Permutations —Simion-Schmidt map⟶ Permutations
St000470: Permutations ⟶ ℤResult quality: 33% ●values known / values provided: 33%●distinct values known / distinct values provided: 83%
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Values
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Description
The number of runs in a permutation.
A run in a permutation is an inclusion-wise maximal increasing substring, i.e., a contiguous subsequence.
This is the same as the number of descents plus 1.
Matching statistic: St001237
(load all 2 compositions to match this statistic)
(load all 2 compositions to match this statistic)
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Mp00127: Permutations —left-to-right-maxima to Dyck path⟶ Dyck paths
Mp00143: Dyck paths —inverse promotion⟶ Dyck paths
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Values
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Description
The number of simple modules with injective dimension at most one or dominant dimension at least one.
Matching statistic: St001668
(load all 3 compositions to match this statistic)
(load all 3 compositions to match this statistic)
Mp00129: Dyck paths —to 321-avoiding permutation (Billey-Jockusch-Stanley)⟶ Permutations
Mp00067: Permutations —Foata bijection⟶ Permutations
Mp00065: Permutations —permutation poset⟶ Posets
St001668: Posets ⟶ ℤResult quality: 32% ●values known / values provided: 32%●distinct values known / distinct values provided: 83%
Mp00067: Permutations —Foata bijection⟶ Permutations
Mp00065: Permutations —permutation poset⟶ Posets
St001668: Posets ⟶ ℤResult quality: 32% ●values known / values provided: 32%●distinct values known / distinct values provided: 83%
Values
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Description
The number of points of the poset minus the width of the poset.
The following 13 statistics, ordered by result quality, also match your data. Click on any of them to see the details.
St001875The number of simple modules with projective dimension at most 1. St000264The girth of a graph, which is not a tree. St001880The number of 2-Gorenstein indecomposable injective modules in the incidence algebra of the lattice. St001060The distinguishing index of a graph. St000454The largest eigenvalue of a graph if it is integral. St001626The number of maximal proper sublattices of a lattice. St001773The number of minimal elements in Bruhat order not less than the signed permutation. St001946The number of descents in a parking function. St001960The number of descents of a permutation minus one if its first entry is not one. St000744The length of the path to the largest entry in a standard Young tableau. St000862The number of parts of the shifted shape of a permutation. St001514The dimension of the top of the Auslander-Reiten translate of the regular modules as a bimodule. St001508The degree of the standard monomial associated to a Dyck path relative to the diagonal boundary.
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