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Matching statistic: St001963
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Description
The tree-depth of a graph.
The tree-depth $\operatorname{td}(G)$ of a graph $G$ whose connected components are $G_1,\ldots,G_p$ is recursively defined as
$$\operatorname{td}(G)=\begin{cases} 1, & \text{if }|G|=1\\ 1 + \min_{v\in V} \operatorname{td}(G-v), & \text{if } p=1 \text{ and } |G| > 1\\ \max_{i=1}^p \operatorname{td}(G_i), & \text{otherwise} \end{cases}$$
Nešetřil and Ossona de Mendez [2] proved that the tree-depth of a connected graph is equal to its minimum elimination tree height and its centered chromatic number (fewest colors needed for a vertex coloring where every connected induced subgraph has a color that appears exactly once).
Tree-depth is strictly greater than [[St000536|pathwidth]]. A [[St001120|longest path]] in $G$ has at least $\operatorname{td}(G)$ vertices [3].
Matching statistic: St001812
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Description
The biclique partition number of a graph.
The biclique partition number of a graph is the minimum number of pairwise edge disjoint complete bipartite subgraphs so that each edge belongs to exactly one of them. A theorem of Graham and Pollak [1] asserts that the complete graph $K_n$ has biclique partition number $n - 1$.
Matching statistic: St001232
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Mp00324: Graphs —chromatic difference sequence⟶ Integer compositions
Mp00231: Integer compositions —bounce path⟶ Dyck paths
St001232: Dyck paths ⟶ ℤResult quality: 67% ●values known / values provided: 67%●distinct values known / distinct values provided: 83%
Mp00231: Integer compositions —bounce path⟶ Dyck paths
St001232: Dyck paths ⟶ ℤResult quality: 67% ●values known / values provided: 67%●distinct values known / distinct values provided: 83%
Values
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([(0,5),(1,5),(2,4),(3,4),(3,5),(4,5)],6)
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([(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)],6)
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([(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)],6)
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([(0,5),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)],6)
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Description
The number of indecomposable modules with projective dimension 2 for Nakayama algebras with global dimension at most 2.
Matching statistic: St001644
Values
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Description
The dimension of a graph.
The dimension of a graph is the least integer $n$ such that there exists a representation of the graph in the Euclidean space of dimension $n$ with all vertices distinct and all edges having unit length. Edges are allowed to intersect, however.
Matching statistic: St001655
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Values
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Description
The general position number of a graph.
A set $S$ of vertices in a graph $G$ is a general position set if no three vertices of $S$ lie on a shortest path between any two of them.
Matching statistic: St001656
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(load all 4 compositions to match this statistic)
Values
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Description
The monophonic position number of a graph.
A subset $M$ of the vertex set of a graph is a monophonic position set if no three vertices of $M$ lie on a common induced path. The monophonic position number is the size of a largest monophonic position set.
Matching statistic: St001318
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Description
The number of vertices of the largest induced subforest with the same number of connected components of a graph.
Matching statistic: St001321
(load all 6 compositions to match this statistic)
(load all 6 compositions to match this statistic)
Values
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Description
The number of vertices of the largest induced subforest of a graph.
Matching statistic: St000259
(load all 14 compositions to match this statistic)
(load all 14 compositions to match this statistic)
Values
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([(1,5),(2,4),(3,4),(3,5),(4,5)],6)
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([(0,5),(1,5),(2,4),(3,4),(3,5),(4,5)],6)
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([(0,5),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)],6)
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([(0,5),(1,4),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)],6)
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Description
The diameter of a connected graph.
This is the greatest distance between any pair of vertices.
Matching statistic: St001638
Values
([],1)
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([(1,4),(2,3)],5)
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([(2,3),(2,4),(3,4)],5)
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=> 2 = 3 - 1
([(0,4),(1,4),(2,3),(3,4)],5)
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([(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
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=> 2 = 3 - 1
([(0,4),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
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=> ? ∊ {3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,5} - 1
([(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)],5)
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Description
The book thickness of a graph.
The book thickness (or pagenumber, or stacknumber) of a graph is the minimal number of pages required for a book embedding of a graph.
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St000443The number of long tunnels of a Dyck path. St001187The number of simple modules with grade at least one in the corresponding Nakayama algebra. St001224Let X be the direct sum of all simple modules of the corresponding Nakayama algebra. St001291The number of indecomposable summands of the tensor product of two copies of the dual of the Nakayama algebra associated to a Dyck path. St001494The Alon-Tarsi number of a graph. St001515The vector space dimension of the socle of the first syzygy module of the regular module (as a bimodule). St001526The Loewy length of the Auslander-Reiten translate of the regular module as a bimodule of the Nakayama algebra corresponding to the Dyck path. St001514The dimension of the top of the Auslander-Reiten translate of the regular modules as a bimodule. St001330The hat guessing number of a graph. St000454The largest eigenvalue of a graph if it is integral. St001316The domatic number of a graph. St000771The largest multiplicity of a distance Laplacian eigenvalue in a connected graph. St000772The multiplicity of the largest distance Laplacian eigenvalue in a connected graph. St000777The number of distinct eigenvalues of the distance Laplacian of a connected graph. St001200The number of simple modules in $eAe$ with projective dimension at most 2 in the corresponding Nakayama algebra $A$ with minimal faithful projective-injective module $eA$. St001060The distinguishing index of a graph. St000264The girth of a graph, which is not a tree. St001645The pebbling number of a connected graph. St000455The second largest eigenvalue of a graph if it is integral. St001875The number of simple modules with projective dimension at most 1. St000422The energy of a graph, if it is integral. St001621The number of atoms of a lattice. St001624The breadth of a lattice. St001630The global dimension of the incidence algebra of the lattice over the rational numbers. St001878The projective dimension of the simple modules corresponding to the minimum of L in the incidence algebra of the lattice L.
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