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Your data matches 14 different statistics following compositions of up to 3 maps.
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Matching statistic: St001877
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Values
([(0,2),(2,1)],3)
=> 0
([(0,1),(0,2),(1,3),(2,3)],4)
=> 1
([(0,3),(2,1),(3,2)],4)
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=> 1
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=> 1
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=> 4
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=> 2
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=> 1
([(0,2),(0,4),(1,5),(2,5),(3,1),(4,3)],6)
=> 3
([(0,3),(1,5),(2,5),(3,4),(4,1),(4,2)],6)
=> 1
([(0,1),(0,2),(0,3),(1,5),(2,4),(3,4),(4,5)],6)
=> 4
([(0,2),(0,3),(2,5),(3,5),(4,1),(5,4)],6)
=> 1
([(0,2),(0,3),(0,4),(2,5),(3,5),(4,5),(5,1)],6)
=> 4
([(0,3),(0,4),(1,5),(2,5),(3,2),(4,1)],6)
=> 3
([(0,2),(0,3),(1,5),(2,4),(3,1),(3,4),(4,5)],6)
=> 2
([(0,5),(2,4),(3,2),(4,1),(5,3)],6)
=> 0
([(0,3),(0,4),(1,5),(3,5),(4,1),(5,2)],6)
=> 2
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=> 6
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=> 6
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=> 6
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([(0,3),(0,5),(1,6),(2,6),(3,6),(4,2),(5,1),(5,4)],7)
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([(0,5),(1,6),(2,6),(3,6),(4,2),(4,3),(5,1),(5,4)],7)
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([(0,3),(0,4),(1,5),(2,5),(3,6),(4,1),(4,2),(5,6)],7)
=> 4
([(0,5),(2,6),(3,6),(4,1),(5,2),(5,3),(6,4)],7)
=> 1
([(0,5),(1,6),(2,6),(3,2),(4,1),(5,3),(5,4)],7)
=> 3
([(0,4),(1,6),(2,5),(3,1),(3,5),(4,2),(4,3),(5,6)],7)
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([(0,2),(0,3),(0,5),(1,6),(2,6),(3,6),(4,1),(5,4)],7)
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([(0,4),(1,6),(2,6),(3,6),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3)],7)
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([(0,2),(0,3),(0,4),(1,5),(2,6),(3,6),(4,5),(6,1)],7)
=> 5
([(0,3),(0,4),(1,5),(2,5),(3,6),(4,6),(6,1),(6,2)],7)
=> 2
([(0,1),(0,2),(0,3),(0,4),(1,6),(2,6),(3,6),(4,5),(6,5)],7)
=> 5
([(0,2),(0,3),(0,4),(2,6),(3,6),(4,6),(5,1),(6,5)],7)
=> 4
([(0,2),(0,3),(0,4),(0,5),(2,6),(3,6),(4,6),(5,6),(6,1)],7)
=> 5
([(0,2),(0,3),(0,4),(1,6),(2,5),(3,5),(4,1),(5,6)],7)
=> 5
([(0,1),(0,2),(0,3),(1,5),(2,4),(3,4),(3,5),(4,6),(5,6)],7)
=> 4
([(0,2),(0,3),(2,6),(3,6),(4,1),(5,4),(6,5)],7)
=> 1
([(0,2),(0,3),(0,4),(2,6),(3,5),(4,5),(5,6),(6,1)],7)
=> 4
Description
Number of indecomposable injective modules with projective dimension 2.
Matching statistic: St000319
Mp00193: Lattices —to poset⟶ Posets
Mp00306: Posets —rowmotion cycle type⟶ Integer partitions
St000319: Integer partitions ⟶ ℤResult quality: 33% ●values known / values provided: 33%●distinct values known / distinct values provided: 100%
Mp00306: Posets —rowmotion cycle type⟶ Integer partitions
St000319: Integer partitions ⟶ ℤResult quality: 33% ●values known / values provided: 33%●distinct values known / distinct values provided: 100%
Values
([(0,2),(2,1)],3)
=> ([(0,2),(2,1)],3)
=> [4]
=> 3 = 0 + 3
([(0,1),(0,2),(1,3),(2,3)],4)
=> ([(0,1),(0,2),(1,3),(2,3)],4)
=> [4,2]
=> 3 = 0 + 3
([(0,3),(2,1),(3,2)],4)
=> ([(0,3),(2,1),(3,2)],4)
=> [5]
=> 4 = 1 + 3
([(0,1),(0,2),(0,3),(1,4),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(0,1),(0,2),(0,3),(1,4),(2,4),(3,4)],5)
=> [4,2,2,2]
=> 3 = 0 + 3
([(0,2),(0,3),(1,4),(2,4),(3,1)],5)
=> ([(0,2),(0,3),(1,4),(2,4),(3,1)],5)
=> [8]
=> 7 = 4 + 3
([(0,3),(1,4),(2,4),(3,1),(3,2)],5)
=> ([(0,3),(1,4),(2,4),(3,1),(3,2)],5)
=> [5,2]
=> 4 = 1 + 3
([(0,4),(2,3),(3,1),(4,2)],5)
=> ([(0,4),(2,3),(3,1),(4,2)],5)
=> [6]
=> 5 = 2 + 3
([(0,2),(0,3),(2,4),(3,4),(4,1)],5)
=> ([(0,2),(0,3),(2,4),(3,4),(4,1)],5)
=> [5,2]
=> 4 = 1 + 3
([(0,1),(0,2),(0,3),(0,4),(1,5),(2,5),(3,5),(4,5)],6)
=> ([(0,1),(0,2),(0,3),(0,4),(1,5),(2,5),(3,5),(4,5)],6)
=> [4,2,2,2,2,2,2,2]
=> ? ∊ {0,1,1,1,3,4,4} + 3
([(0,2),(0,3),(0,4),(1,5),(2,5),(3,5),(4,1)],6)
=> ([(0,2),(0,3),(0,4),(1,5),(2,5),(3,5),(4,1)],6)
=> [8,6]
=> ? ∊ {0,1,1,1,3,4,4} + 3
([(0,3),(0,4),(1,5),(2,5),(3,5),(4,1),(4,2)],6)
=> ([(0,3),(0,4),(1,5),(2,5),(3,5),(4,1),(4,2)],6)
=> [8,2,2]
=> ? ∊ {0,1,1,1,3,4,4} + 3
([(0,4),(1,5),(2,5),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3)],6)
=> ([(0,4),(1,5),(2,5),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3)],6)
=> [5,2,2,2]
=> ? ∊ {0,1,1,1,3,4,4} + 3
([(0,4),(1,5),(2,5),(3,2),(4,1),(4,3)],6)
=> ([(0,4),(1,5),(2,5),(3,2),(4,1),(4,3)],6)
=> [9]
=> 8 = 5 + 3
([(0,4),(1,5),(2,5),(4,1),(4,2),(5,3)],6)
=> ([(0,4),(1,5),(2,5),(4,1),(4,2),(5,3)],6)
=> [6,2]
=> 5 = 2 + 3
([(0,2),(0,4),(1,5),(2,5),(3,1),(4,3)],6)
=> ([(0,2),(0,4),(1,5),(2,5),(3,1),(4,3)],6)
=> [6,4]
=> 7 = 4 + 3
([(0,3),(1,5),(2,5),(3,4),(4,1),(4,2)],6)
=> ([(0,3),(1,5),(2,5),(3,4),(4,1),(4,2)],6)
=> [6,2]
=> 5 = 2 + 3
([(0,1),(0,2),(0,3),(1,5),(2,4),(3,4),(4,5)],6)
=> ([(0,1),(0,2),(0,3),(1,5),(2,4),(3,4),(4,5)],6)
=> [8,2,2]
=> ? ∊ {0,1,1,1,3,4,4} + 3
([(0,2),(0,3),(2,5),(3,5),(4,1),(5,4)],6)
=> ([(0,2),(0,3),(2,5),(3,5),(4,1),(5,4)],6)
=> [6,2]
=> 5 = 2 + 3
([(0,2),(0,3),(0,4),(2,5),(3,5),(4,5),(5,1)],6)
=> ([(0,2),(0,3),(0,4),(2,5),(3,5),(4,5),(5,1)],6)
=> [5,2,2,2]
=> ? ∊ {0,1,1,1,3,4,4} + 3
([(0,3),(0,4),(1,5),(2,5),(3,2),(4,1)],6)
=> ([(0,3),(0,4),(1,5),(2,5),(3,2),(4,1)],6)
=> [5,3,3]
=> ? ∊ {0,1,1,1,3,4,4} + 3
([(0,2),(0,3),(1,5),(2,4),(3,1),(3,4),(4,5)],6)
=> ([(0,2),(0,3),(1,5),(2,4),(3,1),(3,4),(4,5)],6)
=> [5,5]
=> 7 = 4 + 3
([(0,5),(2,4),(3,2),(4,1),(5,3)],6)
=> ([(0,5),(2,4),(3,2),(4,1),(5,3)],6)
=> [7]
=> 6 = 3 + 3
([(0,3),(0,4),(1,5),(3,5),(4,1),(5,2)],6)
=> ([(0,3),(0,4),(1,5),(3,5),(4,1),(5,2)],6)
=> [9]
=> 8 = 5 + 3
([(0,1),(0,2),(0,3),(0,4),(0,5),(1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,6)],7)
=> ([(0,1),(0,2),(0,3),(0,4),(0,5),(1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,6)],7)
=> [4,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2]
=> ? ∊ {0,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6} + 3
([(0,2),(0,3),(0,4),(0,5),(1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,1)],7)
=> ([(0,2),(0,3),(0,4),(0,5),(1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,1)],7)
=> [8,6,6,6]
=> ? ∊ {0,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6} + 3
([(0,3),(0,4),(0,5),(1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,1),(5,2)],7)
=> ([(0,3),(0,4),(0,5),(1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,1),(5,2)],7)
=> [8,6,2,2,2,2]
=> ? ∊ {0,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6} + 3
([(0,4),(0,5),(1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3)],7)
=> ([(0,4),(0,5),(1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3)],7)
=> [8,2,2,2,2,2,2]
=> ? ∊ {0,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6} + 3
([(0,5),(1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)],7)
=> ([(0,5),(1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)],7)
=> [5,2,2,2,2,2,2,2]
=> ? ∊ {0,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6} + 3
([(0,5),(1,6),(2,6),(3,6),(4,3),(5,1),(5,2),(5,4)],7)
=> ([(0,5),(1,6),(2,6),(3,6),(4,3),(5,1),(5,2),(5,4)],7)
=> [9,6]
=> ? ∊ {0,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6} + 3
([(0,4),(1,6),(2,5),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(5,6)],7)
=> ([(0,4),(1,6),(2,5),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(5,6)],7)
=> [9,2,2]
=> ? ∊ {0,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6} + 3
([(0,5),(1,6),(2,6),(3,6),(5,1),(5,2),(5,3),(6,4)],7)
=> ([(0,5),(1,6),(2,6),(3,6),(5,1),(5,2),(5,3),(6,4)],7)
=> [6,2,2,2]
=> ? ∊ {0,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6} + 3
([(0,3),(0,5),(1,6),(2,6),(3,6),(4,2),(5,1),(5,4)],7)
=> ([(0,3),(0,5),(1,6),(2,6),(3,6),(4,2),(5,1),(5,4)],7)
=> [16]
=> ? ∊ {0,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6} + 3
([(0,5),(1,6),(2,6),(3,6),(4,2),(4,3),(5,1),(5,4)],7)
=> ([(0,5),(1,6),(2,6),(3,6),(4,2),(4,3),(5,1),(5,4)],7)
=> [9,2,2]
=> ? ∊ {0,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6} + 3
([(0,3),(0,4),(1,5),(2,5),(3,6),(4,1),(4,2),(5,6)],7)
=> ([(0,3),(0,4),(1,5),(2,5),(3,6),(4,1),(4,2),(5,6)],7)
=> [6,4,2,2]
=> ? ∊ {0,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6} + 3
([(0,5),(2,6),(3,6),(4,1),(5,2),(5,3),(6,4)],7)
=> ([(0,5),(2,6),(3,6),(4,1),(5,2),(5,3),(6,4)],7)
=> [7,2]
=> 6 = 3 + 3
([(0,5),(1,6),(2,6),(3,2),(4,1),(5,3),(5,4)],7)
=> ([(0,5),(1,6),(2,6),(3,2),(4,1),(5,3),(5,4)],7)
=> [6,3,3]
=> ? ∊ {0,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6} + 3
([(0,4),(1,6),(2,5),(3,1),(3,5),(4,2),(4,3),(5,6)],7)
=> ([(0,4),(1,6),(2,5),(3,1),(3,5),(4,2),(4,3),(5,6)],7)
=> [6,5]
=> ? ∊ {0,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6} + 3
([(0,2),(0,3),(0,5),(1,6),(2,6),(3,6),(4,1),(5,4)],7)
=> ([(0,2),(0,3),(0,5),(1,6),(2,6),(3,6),(4,1),(5,4)],7)
=> [6,4,4,4]
=> ? ∊ {0,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6} + 3
([(0,3),(0,4),(1,6),(2,6),(3,6),(4,5),(5,1),(5,2)],7)
=> ([(0,3),(0,4),(1,6),(2,6),(3,6),(4,5),(5,1),(5,2)],7)
=> [6,4,2,2]
=> ? ∊ {0,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6} + 3
([(0,4),(1,6),(2,6),(3,6),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3)],7)
=> ([(0,4),(1,6),(2,6),(3,6),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3)],7)
=> [6,2,2,2]
=> ? ∊ {0,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6} + 3
([(0,1),(0,2),(0,3),(0,4),(1,6),(2,6),(3,5),(4,5),(5,6)],7)
=> ([(0,1),(0,2),(0,3),(0,4),(1,6),(2,6),(3,5),(4,5),(5,6)],7)
=> [8,6,2,2,2,2]
=> ? ∊ {0,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6} + 3
([(0,2),(0,3),(0,4),(1,5),(2,6),(3,6),(4,5),(6,1)],7)
=> ([(0,2),(0,3),(0,4),(1,5),(2,6),(3,6),(4,5),(6,1)],7)
=> [6,4,2,2]
=> ? ∊ {0,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6} + 3
([(0,3),(0,4),(1,5),(2,5),(3,6),(4,6),(6,1),(6,2)],7)
=> ([(0,3),(0,4),(1,5),(2,5),(3,6),(4,6),(6,1),(6,2)],7)
=> [6,2,2]
=> 5 = 2 + 3
([(0,1),(0,2),(0,3),(0,4),(1,6),(2,6),(3,6),(4,5),(6,5)],7)
=> ([(0,1),(0,2),(0,3),(0,4),(1,6),(2,6),(3,6),(4,5),(6,5)],7)
=> [8,2,2,2,2,2,2]
=> ? ∊ {0,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6} + 3
([(0,2),(0,3),(0,4),(2,6),(3,6),(4,6),(5,1),(6,5)],7)
=> ([(0,2),(0,3),(0,4),(2,6),(3,6),(4,6),(5,1),(6,5)],7)
=> [6,2,2,2]
=> ? ∊ {0,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6} + 3
([(0,2),(0,3),(0,4),(0,5),(2,6),(3,6),(4,6),(5,6),(6,1)],7)
=> ([(0,2),(0,3),(0,4),(0,5),(2,6),(3,6),(4,6),(5,6),(6,1)],7)
=> [5,2,2,2,2,2,2,2]
=> ? ∊ {0,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6} + 3
([(0,2),(0,3),(0,4),(1,6),(2,5),(3,5),(4,1),(5,6)],7)
=> ([(0,2),(0,3),(0,4),(1,6),(2,5),(3,5),(4,1),(5,6)],7)
=> [6,5,3,3]
=> ? ∊ {0,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6} + 3
([(0,1),(0,2),(0,3),(1,5),(2,4),(3,4),(3,5),(4,6),(5,6)],7)
=> ([(0,1),(0,2),(0,3),(1,5),(2,4),(3,4),(3,5),(4,6),(5,6)],7)
=> [8,5,2]
=> ? ∊ {0,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6} + 3
([(0,2),(0,3),(2,6),(3,6),(4,1),(5,4),(6,5)],7)
=> ([(0,2),(0,3),(2,6),(3,6),(4,1),(5,4),(6,5)],7)
=> [7,2]
=> 6 = 3 + 3
([(0,2),(0,3),(0,4),(2,6),(3,5),(4,5),(5,6),(6,1)],7)
=> ([(0,2),(0,3),(0,4),(2,6),(3,5),(4,5),(5,6),(6,1)],7)
=> [9,2,2]
=> ? ∊ {0,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6} + 3
([(0,2),(0,3),(0,4),(1,5),(2,6),(3,6),(4,1),(4,6),(6,5)],7)
=> ([(0,2),(0,3),(0,4),(1,5),(2,6),(3,6),(4,1),(4,6),(6,5)],7)
=> [6,5,5]
=> ? ∊ {0,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6} + 3
([(0,3),(0,4),(0,5),(1,6),(3,6),(4,6),(5,1),(6,2)],7)
=> ([(0,3),(0,4),(0,5),(1,6),(3,6),(4,6),(5,1),(6,2)],7)
=> [9,6]
=> ? ∊ {0,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6} + 3
([(0,3),(0,4),(0,5),(1,6),(2,6),(3,6),(4,2),(5,1)],7)
=> ([(0,3),(0,4),(0,5),(1,6),(2,6),(3,6),(4,2),(5,1)],7)
=> [8,6,6]
=> ? ∊ {0,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6} + 3
([(0,2),(0,3),(0,4),(1,6),(2,6),(3,5),(4,1),(4,5),(5,6)],7)
=> ([(0,2),(0,3),(0,4),(1,6),(2,6),(3,5),(4,1),(4,5),(5,6)],7)
=> [10,8]
=> ? ∊ {0,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6} + 3
([(0,2),(0,4),(1,6),(2,5),(3,1),(4,3),(4,5),(5,6)],7)
=> ([(0,2),(0,4),(1,6),(2,5),(3,1),(4,3),(4,5),(5,6)],7)
=> [10,3]
=> ? ∊ {0,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6} + 3
([(0,3),(0,4),(2,6),(3,5),(4,2),(4,5),(5,6),(6,1)],7)
=> ([(0,3),(0,4),(2,6),(3,5),(4,2),(4,5),(5,6),(6,1)],7)
=> [6,5]
=> ? ∊ {0,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6} + 3
([(0,3),(0,4),(1,5),(2,5),(3,6),(4,2),(4,6),(6,1)],7)
=> ([(0,3),(0,4),(1,5),(2,5),(3,6),(4,2),(4,6),(6,1)],7)
=> [12]
=> ? ∊ {0,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6} + 3
([(0,4),(0,5),(1,6),(2,6),(3,6),(4,3),(5,1),(5,2)],7)
=> ([(0,4),(0,5),(1,6),(2,6),(3,6),(4,3),(5,1),(5,2)],7)
=> [6,5,3,3]
=> ? ∊ {0,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6} + 3
([(0,3),(0,4),(1,6),(2,6),(3,5),(4,1),(4,2),(4,5),(5,6)],7)
=> ([(0,3),(0,4),(1,6),(2,6),(3,5),(4,1),(4,2),(4,5),(5,6)],7)
=> [6,5,5]
=> ? ∊ {0,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6} + 3
([(0,5),(1,6),(2,6),(3,4),(4,2),(5,1),(5,3)],7)
=> ([(0,5),(1,6),(2,6),(3,4),(4,2),(5,1),(5,3)],7)
=> [7,4]
=> ? ∊ {0,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6} + 3
([(0,3),(0,4),(1,6),(2,5),(3,5),(4,1),(4,2),(5,6)],7)
=> ([(0,3),(0,4),(1,6),(2,5),(3,5),(4,1),(4,2),(5,6)],7)
=> [12,2]
=> ? ∊ {0,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6} + 3
([(0,5),(1,6),(2,6),(4,2),(5,1),(5,4),(6,3)],7)
=> ([(0,5),(1,6),(2,6),(4,2),(5,1),(5,4),(6,3)],7)
=> [10]
=> 9 = 6 + 3
([(0,4),(0,5),(1,6),(2,6),(4,6),(5,1),(5,2),(6,3)],7)
=> ([(0,4),(0,5),(1,6),(2,6),(4,6),(5,1),(5,2),(6,3)],7)
=> [9,2,2]
=> ? ∊ {0,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6} + 3
([(0,3),(0,4),(1,6),(2,6),(3,2),(3,5),(4,1),(4,5),(5,6)],7)
=> ([(0,3),(0,4),(1,6),(2,6),(3,2),(3,5),(4,1),(4,5),(5,6)],7)
=> [8,5,2]
=> ? ∊ {0,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6} + 3
([(0,3),(0,4),(1,6),(2,5),(3,2),(4,1),(4,5),(5,6)],7)
=> ([(0,3),(0,4),(1,6),(2,5),(3,2),(4,1),(4,5),(5,6)],7)
=> [10,3]
=> ? ∊ {0,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6} + 3
([(0,2),(0,5),(1,6),(2,6),(3,4),(4,1),(5,3)],7)
=> ([(0,2),(0,5),(1,6),(2,6),(3,4),(4,1),(5,3)],7)
=> [12]
=> ? ∊ {0,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6} + 3
([(0,4),(1,6),(2,6),(3,5),(4,3),(5,1),(5,2)],7)
=> ([(0,4),(1,6),(2,6),(3,5),(4,3),(5,1),(5,2)],7)
=> [7,2]
=> 6 = 3 + 3
([(0,2),(0,3),(0,4),(1,5),(2,6),(3,5),(4,1),(5,6)],7)
=> ([(0,2),(0,3),(0,4),(1,5),(2,6),(3,5),(4,1),(5,6)],7)
=> [16]
=> ? ∊ {0,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6} + 3
([(0,3),(0,5),(2,6),(3,6),(4,1),(5,2),(6,4)],7)
=> ([(0,3),(0,5),(2,6),(3,6),(4,1),(5,2),(6,4)],7)
=> [10]
=> 9 = 6 + 3
([(0,4),(0,5),(1,6),(2,6),(3,2),(4,3),(5,1)],7)
=> ([(0,4),(0,5),(1,6),(2,6),(3,2),(4,3),(5,1)],7)
=> [14]
=> ? ∊ {0,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6} + 3
([(0,4),(1,6),(2,6),(3,2),(4,5),(5,1),(5,3)],7)
=> ([(0,4),(1,6),(2,6),(3,2),(4,5),(5,1),(5,3)],7)
=> [10]
=> 9 = 6 + 3
([(0,2),(0,4),(1,6),(2,5),(3,1),(3,5),(4,3),(5,6)],7)
=> ([(0,2),(0,4),(1,6),(2,5),(3,1),(3,5),(4,3),(5,6)],7)
=> [12]
=> ? ∊ {0,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6} + 3
([(0,6),(2,3),(3,5),(4,2),(5,1),(6,4)],7)
=> ([(0,6),(2,3),(3,5),(4,2),(5,1),(6,4)],7)
=> [8]
=> 7 = 4 + 3
([(0,4),(0,5),(1,6),(2,6),(4,2),(5,1),(6,3)],7)
=> ([(0,4),(0,5),(1,6),(2,6),(4,2),(5,1),(6,3)],7)
=> [6,3,3]
=> ? ∊ {0,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6} + 3
([(0,4),(1,6),(2,6),(4,5),(5,1),(5,2),(6,3)],7)
=> ([(0,4),(1,6),(2,6),(4,5),(5,1),(5,2),(6,3)],7)
=> [7,2]
=> 6 = 3 + 3
Description
The spin of an integer partition.
The Ferrers shape of an integer partition $\lambda$ can be decomposed into border strips. The spin is then defined to be the total number of crossings of border strips of $\lambda$ with the vertical lines in the Ferrers shape.
The following example is taken from Appendix B in [1]: Let $\lambda = (5,5,4,4,2,1)$. Removing the border strips successively yields the sequence of partitions
$$(5,5,4,4,2,1), (4,3,3,1), (2,2), (1), ().$$
The first strip $(5,5,4,4,2,1) \setminus (4,3,3,1)$ crosses $4$ times, the second strip $(4,3,3,1) \setminus (2,2)$ crosses $3$ times, the strip $(2,2) \setminus (1)$ crosses $1$ time, and the remaining strip $(1) \setminus ()$ does not cross.
This yields the spin of $(5,5,4,4,2,1)$ to be $4+3+1 = 8$.
Matching statistic: St000320
Mp00193: Lattices —to poset⟶ Posets
Mp00306: Posets —rowmotion cycle type⟶ Integer partitions
St000320: Integer partitions ⟶ ℤResult quality: 33% ●values known / values provided: 33%●distinct values known / distinct values provided: 100%
Mp00306: Posets —rowmotion cycle type⟶ Integer partitions
St000320: Integer partitions ⟶ ℤResult quality: 33% ●values known / values provided: 33%●distinct values known / distinct values provided: 100%
Values
([(0,2),(2,1)],3)
=> ([(0,2),(2,1)],3)
=> [4]
=> 3 = 0 + 3
([(0,1),(0,2),(1,3),(2,3)],4)
=> ([(0,1),(0,2),(1,3),(2,3)],4)
=> [4,2]
=> 3 = 0 + 3
([(0,3),(2,1),(3,2)],4)
=> ([(0,3),(2,1),(3,2)],4)
=> [5]
=> 4 = 1 + 3
([(0,1),(0,2),(0,3),(1,4),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(0,1),(0,2),(0,3),(1,4),(2,4),(3,4)],5)
=> [4,2,2,2]
=> 3 = 0 + 3
([(0,2),(0,3),(1,4),(2,4),(3,1)],5)
=> ([(0,2),(0,3),(1,4),(2,4),(3,1)],5)
=> [8]
=> 7 = 4 + 3
([(0,3),(1,4),(2,4),(3,1),(3,2)],5)
=> ([(0,3),(1,4),(2,4),(3,1),(3,2)],5)
=> [5,2]
=> 4 = 1 + 3
([(0,4),(2,3),(3,1),(4,2)],5)
=> ([(0,4),(2,3),(3,1),(4,2)],5)
=> [6]
=> 5 = 2 + 3
([(0,2),(0,3),(2,4),(3,4),(4,1)],5)
=> ([(0,2),(0,3),(2,4),(3,4),(4,1)],5)
=> [5,2]
=> 4 = 1 + 3
([(0,1),(0,2),(0,3),(0,4),(1,5),(2,5),(3,5),(4,5)],6)
=> ([(0,1),(0,2),(0,3),(0,4),(1,5),(2,5),(3,5),(4,5)],6)
=> [4,2,2,2,2,2,2,2]
=> ? ∊ {0,1,1,1,3,4,4} + 3
([(0,2),(0,3),(0,4),(1,5),(2,5),(3,5),(4,1)],6)
=> ([(0,2),(0,3),(0,4),(1,5),(2,5),(3,5),(4,1)],6)
=> [8,6]
=> ? ∊ {0,1,1,1,3,4,4} + 3
([(0,3),(0,4),(1,5),(2,5),(3,5),(4,1),(4,2)],6)
=> ([(0,3),(0,4),(1,5),(2,5),(3,5),(4,1),(4,2)],6)
=> [8,2,2]
=> ? ∊ {0,1,1,1,3,4,4} + 3
([(0,4),(1,5),(2,5),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3)],6)
=> ([(0,4),(1,5),(2,5),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3)],6)
=> [5,2,2,2]
=> ? ∊ {0,1,1,1,3,4,4} + 3
([(0,4),(1,5),(2,5),(3,2),(4,1),(4,3)],6)
=> ([(0,4),(1,5),(2,5),(3,2),(4,1),(4,3)],6)
=> [9]
=> 8 = 5 + 3
([(0,4),(1,5),(2,5),(4,1),(4,2),(5,3)],6)
=> ([(0,4),(1,5),(2,5),(4,1),(4,2),(5,3)],6)
=> [6,2]
=> 5 = 2 + 3
([(0,2),(0,4),(1,5),(2,5),(3,1),(4,3)],6)
=> ([(0,2),(0,4),(1,5),(2,5),(3,1),(4,3)],6)
=> [6,4]
=> 7 = 4 + 3
([(0,3),(1,5),(2,5),(3,4),(4,1),(4,2)],6)
=> ([(0,3),(1,5),(2,5),(3,4),(4,1),(4,2)],6)
=> [6,2]
=> 5 = 2 + 3
([(0,1),(0,2),(0,3),(1,5),(2,4),(3,4),(4,5)],6)
=> ([(0,1),(0,2),(0,3),(1,5),(2,4),(3,4),(4,5)],6)
=> [8,2,2]
=> ? ∊ {0,1,1,1,3,4,4} + 3
([(0,2),(0,3),(2,5),(3,5),(4,1),(5,4)],6)
=> ([(0,2),(0,3),(2,5),(3,5),(4,1),(5,4)],6)
=> [6,2]
=> 5 = 2 + 3
([(0,2),(0,3),(0,4),(2,5),(3,5),(4,5),(5,1)],6)
=> ([(0,2),(0,3),(0,4),(2,5),(3,5),(4,5),(5,1)],6)
=> [5,2,2,2]
=> ? ∊ {0,1,1,1,3,4,4} + 3
([(0,3),(0,4),(1,5),(2,5),(3,2),(4,1)],6)
=> ([(0,3),(0,4),(1,5),(2,5),(3,2),(4,1)],6)
=> [5,3,3]
=> ? ∊ {0,1,1,1,3,4,4} + 3
([(0,2),(0,3),(1,5),(2,4),(3,1),(3,4),(4,5)],6)
=> ([(0,2),(0,3),(1,5),(2,4),(3,1),(3,4),(4,5)],6)
=> [5,5]
=> 7 = 4 + 3
([(0,5),(2,4),(3,2),(4,1),(5,3)],6)
=> ([(0,5),(2,4),(3,2),(4,1),(5,3)],6)
=> [7]
=> 6 = 3 + 3
([(0,3),(0,4),(1,5),(3,5),(4,1),(5,2)],6)
=> ([(0,3),(0,4),(1,5),(3,5),(4,1),(5,2)],6)
=> [9]
=> 8 = 5 + 3
([(0,1),(0,2),(0,3),(0,4),(0,5),(1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,6)],7)
=> ([(0,1),(0,2),(0,3),(0,4),(0,5),(1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,6)],7)
=> [4,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2]
=> ? ∊ {0,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6} + 3
([(0,2),(0,3),(0,4),(0,5),(1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,1)],7)
=> ([(0,2),(0,3),(0,4),(0,5),(1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,1)],7)
=> [8,6,6,6]
=> ? ∊ {0,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6} + 3
([(0,3),(0,4),(0,5),(1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,1),(5,2)],7)
=> ([(0,3),(0,4),(0,5),(1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,1),(5,2)],7)
=> [8,6,2,2,2,2]
=> ? ∊ {0,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6} + 3
([(0,4),(0,5),(1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3)],7)
=> ([(0,4),(0,5),(1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3)],7)
=> [8,2,2,2,2,2,2]
=> ? ∊ {0,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6} + 3
([(0,5),(1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)],7)
=> ([(0,5),(1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)],7)
=> [5,2,2,2,2,2,2,2]
=> ? ∊ {0,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6} + 3
([(0,5),(1,6),(2,6),(3,6),(4,3),(5,1),(5,2),(5,4)],7)
=> ([(0,5),(1,6),(2,6),(3,6),(4,3),(5,1),(5,2),(5,4)],7)
=> [9,6]
=> ? ∊ {0,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6} + 3
([(0,4),(1,6),(2,5),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(5,6)],7)
=> ([(0,4),(1,6),(2,5),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(5,6)],7)
=> [9,2,2]
=> ? ∊ {0,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6} + 3
([(0,5),(1,6),(2,6),(3,6),(5,1),(5,2),(5,3),(6,4)],7)
=> ([(0,5),(1,6),(2,6),(3,6),(5,1),(5,2),(5,3),(6,4)],7)
=> [6,2,2,2]
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([(0,3),(0,5),(1,6),(2,6),(3,6),(4,2),(5,1),(5,4)],7)
=> ([(0,3),(0,5),(1,6),(2,6),(3,6),(4,2),(5,1),(5,4)],7)
=> [16]
=> ? ∊ {0,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6} + 3
([(0,5),(1,6),(2,6),(3,6),(4,2),(4,3),(5,1),(5,4)],7)
=> ([(0,5),(1,6),(2,6),(3,6),(4,2),(4,3),(5,1),(5,4)],7)
=> [9,2,2]
=> ? ∊ {0,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6} + 3
([(0,3),(0,4),(1,5),(2,5),(3,6),(4,1),(4,2),(5,6)],7)
=> ([(0,3),(0,4),(1,5),(2,5),(3,6),(4,1),(4,2),(5,6)],7)
=> [6,4,2,2]
=> ? ∊ {0,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6} + 3
([(0,5),(2,6),(3,6),(4,1),(5,2),(5,3),(6,4)],7)
=> ([(0,5),(2,6),(3,6),(4,1),(5,2),(5,3),(6,4)],7)
=> [7,2]
=> 6 = 3 + 3
([(0,5),(1,6),(2,6),(3,2),(4,1),(5,3),(5,4)],7)
=> ([(0,5),(1,6),(2,6),(3,2),(4,1),(5,3),(5,4)],7)
=> [6,3,3]
=> ? ∊ {0,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6} + 3
([(0,4),(1,6),(2,5),(3,1),(3,5),(4,2),(4,3),(5,6)],7)
=> ([(0,4),(1,6),(2,5),(3,1),(3,5),(4,2),(4,3),(5,6)],7)
=> [6,5]
=> ? ∊ {0,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6} + 3
([(0,2),(0,3),(0,5),(1,6),(2,6),(3,6),(4,1),(5,4)],7)
=> ([(0,2),(0,3),(0,5),(1,6),(2,6),(3,6),(4,1),(5,4)],7)
=> [6,4,4,4]
=> ? ∊ {0,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6} + 3
([(0,3),(0,4),(1,6),(2,6),(3,6),(4,5),(5,1),(5,2)],7)
=> ([(0,3),(0,4),(1,6),(2,6),(3,6),(4,5),(5,1),(5,2)],7)
=> [6,4,2,2]
=> ? ∊ {0,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6} + 3
([(0,4),(1,6),(2,6),(3,6),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3)],7)
=> ([(0,4),(1,6),(2,6),(3,6),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3)],7)
=> [6,2,2,2]
=> ? ∊ {0,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6} + 3
([(0,1),(0,2),(0,3),(0,4),(1,6),(2,6),(3,5),(4,5),(5,6)],7)
=> ([(0,1),(0,2),(0,3),(0,4),(1,6),(2,6),(3,5),(4,5),(5,6)],7)
=> [8,6,2,2,2,2]
=> ? ∊ {0,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6} + 3
([(0,2),(0,3),(0,4),(1,5),(2,6),(3,6),(4,5),(6,1)],7)
=> ([(0,2),(0,3),(0,4),(1,5),(2,6),(3,6),(4,5),(6,1)],7)
=> [6,4,2,2]
=> ? ∊ {0,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6} + 3
([(0,3),(0,4),(1,5),(2,5),(3,6),(4,6),(6,1),(6,2)],7)
=> ([(0,3),(0,4),(1,5),(2,5),(3,6),(4,6),(6,1),(6,2)],7)
=> [6,2,2]
=> 5 = 2 + 3
([(0,1),(0,2),(0,3),(0,4),(1,6),(2,6),(3,6),(4,5),(6,5)],7)
=> ([(0,1),(0,2),(0,3),(0,4),(1,6),(2,6),(3,6),(4,5),(6,5)],7)
=> [8,2,2,2,2,2,2]
=> ? ∊ {0,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6} + 3
([(0,2),(0,3),(0,4),(2,6),(3,6),(4,6),(5,1),(6,5)],7)
=> ([(0,2),(0,3),(0,4),(2,6),(3,6),(4,6),(5,1),(6,5)],7)
=> [6,2,2,2]
=> ? ∊ {0,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6} + 3
([(0,2),(0,3),(0,4),(0,5),(2,6),(3,6),(4,6),(5,6),(6,1)],7)
=> ([(0,2),(0,3),(0,4),(0,5),(2,6),(3,6),(4,6),(5,6),(6,1)],7)
=> [5,2,2,2,2,2,2,2]
=> ? ∊ {0,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6} + 3
([(0,2),(0,3),(0,4),(1,6),(2,5),(3,5),(4,1),(5,6)],7)
=> ([(0,2),(0,3),(0,4),(1,6),(2,5),(3,5),(4,1),(5,6)],7)
=> [6,5,3,3]
=> ? ∊ {0,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6} + 3
([(0,1),(0,2),(0,3),(1,5),(2,4),(3,4),(3,5),(4,6),(5,6)],7)
=> ([(0,1),(0,2),(0,3),(1,5),(2,4),(3,4),(3,5),(4,6),(5,6)],7)
=> [8,5,2]
=> ? ∊ {0,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6} + 3
([(0,2),(0,3),(2,6),(3,6),(4,1),(5,4),(6,5)],7)
=> ([(0,2),(0,3),(2,6),(3,6),(4,1),(5,4),(6,5)],7)
=> [7,2]
=> 6 = 3 + 3
([(0,2),(0,3),(0,4),(2,6),(3,5),(4,5),(5,6),(6,1)],7)
=> ([(0,2),(0,3),(0,4),(2,6),(3,5),(4,5),(5,6),(6,1)],7)
=> [9,2,2]
=> ? ∊ {0,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6} + 3
([(0,2),(0,3),(0,4),(1,5),(2,6),(3,6),(4,1),(4,6),(6,5)],7)
=> ([(0,2),(0,3),(0,4),(1,5),(2,6),(3,6),(4,1),(4,6),(6,5)],7)
=> [6,5,5]
=> ? ∊ {0,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6} + 3
([(0,3),(0,4),(0,5),(1,6),(3,6),(4,6),(5,1),(6,2)],7)
=> ([(0,3),(0,4),(0,5),(1,6),(3,6),(4,6),(5,1),(6,2)],7)
=> [9,6]
=> ? ∊ {0,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6} + 3
([(0,3),(0,4),(0,5),(1,6),(2,6),(3,6),(4,2),(5,1)],7)
=> ([(0,3),(0,4),(0,5),(1,6),(2,6),(3,6),(4,2),(5,1)],7)
=> [8,6,6]
=> ? ∊ {0,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6} + 3
([(0,2),(0,3),(0,4),(1,6),(2,6),(3,5),(4,1),(4,5),(5,6)],7)
=> ([(0,2),(0,3),(0,4),(1,6),(2,6),(3,5),(4,1),(4,5),(5,6)],7)
=> [10,8]
=> ? ∊ {0,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6} + 3
([(0,2),(0,4),(1,6),(2,5),(3,1),(4,3),(4,5),(5,6)],7)
=> ([(0,2),(0,4),(1,6),(2,5),(3,1),(4,3),(4,5),(5,6)],7)
=> [10,3]
=> ? ∊ {0,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6} + 3
([(0,3),(0,4),(2,6),(3,5),(4,2),(4,5),(5,6),(6,1)],7)
=> ([(0,3),(0,4),(2,6),(3,5),(4,2),(4,5),(5,6),(6,1)],7)
=> [6,5]
=> ? ∊ {0,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6} + 3
([(0,3),(0,4),(1,5),(2,5),(3,6),(4,2),(4,6),(6,1)],7)
=> ([(0,3),(0,4),(1,5),(2,5),(3,6),(4,2),(4,6),(6,1)],7)
=> [12]
=> ? ∊ {0,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6} + 3
([(0,4),(0,5),(1,6),(2,6),(3,6),(4,3),(5,1),(5,2)],7)
=> ([(0,4),(0,5),(1,6),(2,6),(3,6),(4,3),(5,1),(5,2)],7)
=> [6,5,3,3]
=> ? ∊ {0,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6} + 3
([(0,3),(0,4),(1,6),(2,6),(3,5),(4,1),(4,2),(4,5),(5,6)],7)
=> ([(0,3),(0,4),(1,6),(2,6),(3,5),(4,1),(4,2),(4,5),(5,6)],7)
=> [6,5,5]
=> ? ∊ {0,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6} + 3
([(0,5),(1,6),(2,6),(3,4),(4,2),(5,1),(5,3)],7)
=> ([(0,5),(1,6),(2,6),(3,4),(4,2),(5,1),(5,3)],7)
=> [7,4]
=> ? ∊ {0,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6} + 3
([(0,3),(0,4),(1,6),(2,5),(3,5),(4,1),(4,2),(5,6)],7)
=> ([(0,3),(0,4),(1,6),(2,5),(3,5),(4,1),(4,2),(5,6)],7)
=> [12,2]
=> ? ∊ {0,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6} + 3
([(0,5),(1,6),(2,6),(4,2),(5,1),(5,4),(6,3)],7)
=> ([(0,5),(1,6),(2,6),(4,2),(5,1),(5,4),(6,3)],7)
=> [10]
=> 9 = 6 + 3
([(0,4),(0,5),(1,6),(2,6),(4,6),(5,1),(5,2),(6,3)],7)
=> ([(0,4),(0,5),(1,6),(2,6),(4,6),(5,1),(5,2),(6,3)],7)
=> [9,2,2]
=> ? ∊ {0,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6} + 3
([(0,3),(0,4),(1,6),(2,6),(3,2),(3,5),(4,1),(4,5),(5,6)],7)
=> ([(0,3),(0,4),(1,6),(2,6),(3,2),(3,5),(4,1),(4,5),(5,6)],7)
=> [8,5,2]
=> ? ∊ {0,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6} + 3
([(0,3),(0,4),(1,6),(2,5),(3,2),(4,1),(4,5),(5,6)],7)
=> ([(0,3),(0,4),(1,6),(2,5),(3,2),(4,1),(4,5),(5,6)],7)
=> [10,3]
=> ? ∊ {0,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6} + 3
([(0,2),(0,5),(1,6),(2,6),(3,4),(4,1),(5,3)],7)
=> ([(0,2),(0,5),(1,6),(2,6),(3,4),(4,1),(5,3)],7)
=> [12]
=> ? ∊ {0,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6} + 3
([(0,4),(1,6),(2,6),(3,5),(4,3),(5,1),(5,2)],7)
=> ([(0,4),(1,6),(2,6),(3,5),(4,3),(5,1),(5,2)],7)
=> [7,2]
=> 6 = 3 + 3
([(0,2),(0,3),(0,4),(1,5),(2,6),(3,5),(4,1),(5,6)],7)
=> ([(0,2),(0,3),(0,4),(1,5),(2,6),(3,5),(4,1),(5,6)],7)
=> [16]
=> ? ∊ {0,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6} + 3
([(0,3),(0,5),(2,6),(3,6),(4,1),(5,2),(6,4)],7)
=> ([(0,3),(0,5),(2,6),(3,6),(4,1),(5,2),(6,4)],7)
=> [10]
=> 9 = 6 + 3
([(0,4),(0,5),(1,6),(2,6),(3,2),(4,3),(5,1)],7)
=> ([(0,4),(0,5),(1,6),(2,6),(3,2),(4,3),(5,1)],7)
=> [14]
=> ? ∊ {0,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6} + 3
([(0,4),(1,6),(2,6),(3,2),(4,5),(5,1),(5,3)],7)
=> ([(0,4),(1,6),(2,6),(3,2),(4,5),(5,1),(5,3)],7)
=> [10]
=> 9 = 6 + 3
([(0,2),(0,4),(1,6),(2,5),(3,1),(3,5),(4,3),(5,6)],7)
=> ([(0,2),(0,4),(1,6),(2,5),(3,1),(3,5),(4,3),(5,6)],7)
=> [12]
=> ? ∊ {0,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6} + 3
([(0,6),(2,3),(3,5),(4,2),(5,1),(6,4)],7)
=> ([(0,6),(2,3),(3,5),(4,2),(5,1),(6,4)],7)
=> [8]
=> 7 = 4 + 3
([(0,4),(0,5),(1,6),(2,6),(4,2),(5,1),(6,3)],7)
=> ([(0,4),(0,5),(1,6),(2,6),(4,2),(5,1),(6,3)],7)
=> [6,3,3]
=> ? ∊ {0,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6} + 3
([(0,4),(1,6),(2,6),(4,5),(5,1),(5,2),(6,3)],7)
=> ([(0,4),(1,6),(2,6),(4,5),(5,1),(5,2),(6,3)],7)
=> [7,2]
=> 6 = 3 + 3
Description
The dinv adjustment of an integer partition.
The Ferrers shape of an integer partition $\lambda = (\lambda_1,\ldots,\lambda_k)$ can be decomposed into border strips. For $0 \leq j < \lambda_1$ let $n_j$ be the length of the border strip starting at $(\lambda_1-j,0)$.
The dinv adjustment is then defined by
$$\sum_{j:n_j > 0}(\lambda_1-1-j).$$
The following example is taken from Appendix B in [2]: Let $\lambda=(5,5,4,4,2,1)$. Removing the border strips successively yields the sequence of partitions
$$(5,5,4,4,2,1),(4,3,3,1),(2,2),(1),(),$$
and we obtain $(n_0,\ldots,n_4) = (10,7,0,3,1)$.
The dinv adjustment is thus $4+3+1+0 = 8$.
Matching statistic: St001876
(load all 2 compositions to match this statistic)
(load all 2 compositions to match this statistic)
Values
([(0,2),(2,1)],3)
=> 0
([(0,1),(0,2),(1,3),(2,3)],4)
=> 1
([(0,3),(2,1),(3,2)],4)
=> 0
([(0,1),(0,2),(0,3),(1,4),(2,4),(3,4)],5)
=> ? ∊ {2,4}
([(0,2),(0,3),(1,4),(2,4),(3,1)],5)
=> ? ∊ {2,4}
([(0,3),(1,4),(2,4),(3,1),(3,2)],5)
=> 1
([(0,4),(2,3),(3,1),(4,2)],5)
=> 0
([(0,2),(0,3),(2,4),(3,4),(4,1)],5)
=> 1
([(0,1),(0,2),(0,3),(0,4),(1,5),(2,5),(3,5),(4,5)],6)
=> ? ∊ {2,2,3,3,4,4,4,4,5,5}
([(0,2),(0,3),(0,4),(1,5),(2,5),(3,5),(4,1)],6)
=> ? ∊ {2,2,3,3,4,4,4,4,5,5}
([(0,3),(0,4),(1,5),(2,5),(3,5),(4,1),(4,2)],6)
=> ? ∊ {2,2,3,3,4,4,4,4,5,5}
([(0,4),(1,5),(2,5),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3)],6)
=> ? ∊ {2,2,3,3,4,4,4,4,5,5}
([(0,4),(1,5),(2,5),(3,2),(4,1),(4,3)],6)
=> ? ∊ {2,2,3,3,4,4,4,4,5,5}
([(0,4),(1,5),(2,5),(4,1),(4,2),(5,3)],6)
=> 1
([(0,2),(0,4),(1,5),(2,5),(3,1),(4,3)],6)
=> ? ∊ {2,2,3,3,4,4,4,4,5,5}
([(0,3),(1,5),(2,5),(3,4),(4,1),(4,2)],6)
=> 1
([(0,1),(0,2),(0,3),(1,5),(2,4),(3,4),(4,5)],6)
=> ? ∊ {2,2,3,3,4,4,4,4,5,5}
([(0,2),(0,3),(2,5),(3,5),(4,1),(5,4)],6)
=> 1
([(0,2),(0,3),(0,4),(2,5),(3,5),(4,5),(5,1)],6)
=> ? ∊ {2,2,3,3,4,4,4,4,5,5}
([(0,3),(0,4),(1,5),(2,5),(3,2),(4,1)],6)
=> ? ∊ {2,2,3,3,4,4,4,4,5,5}
([(0,2),(0,3),(1,5),(2,4),(3,1),(3,4),(4,5)],6)
=> 2
([(0,5),(2,4),(3,2),(4,1),(5,3)],6)
=> 0
([(0,3),(0,4),(1,5),(3,5),(4,1),(5,2)],6)
=> ? ∊ {2,2,3,3,4,4,4,4,5,5}
([(0,1),(0,2),(0,3),(0,4),(0,5),(1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,6)],7)
=> ? ∊ {2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6,6,6,6}
([(0,2),(0,3),(0,4),(0,5),(1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,1)],7)
=> ? ∊ {2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6,6,6,6}
([(0,3),(0,4),(0,5),(1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,1),(5,2)],7)
=> ? ∊ {2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6,6,6,6}
([(0,4),(0,5),(1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3)],7)
=> ? ∊ {2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6,6,6,6}
([(0,5),(1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)],7)
=> ? ∊ {2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6,6,6,6}
([(0,5),(1,6),(2,6),(3,6),(4,3),(5,1),(5,2),(5,4)],7)
=> ? ∊ {2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6,6,6,6}
([(0,4),(1,6),(2,5),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(5,6)],7)
=> ? ∊ {2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6,6,6,6}
([(0,5),(1,6),(2,6),(3,6),(5,1),(5,2),(5,3),(6,4)],7)
=> ? ∊ {2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6,6,6,6}
([(0,3),(0,5),(1,6),(2,6),(3,6),(4,2),(5,1),(5,4)],7)
=> ? ∊ {2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6,6,6,6}
([(0,5),(1,6),(2,6),(3,6),(4,2),(4,3),(5,1),(5,4)],7)
=> ? ∊ {2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6,6,6,6}
([(0,3),(0,4),(1,5),(2,5),(3,6),(4,1),(4,2),(5,6)],7)
=> ? ∊ {2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6,6,6,6}
([(0,5),(2,6),(3,6),(4,1),(5,2),(5,3),(6,4)],7)
=> 1
([(0,5),(1,6),(2,6),(3,2),(4,1),(5,3),(5,4)],7)
=> ? ∊ {2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6,6,6,6}
([(0,4),(1,6),(2,5),(3,1),(3,5),(4,2),(4,3),(5,6)],7)
=> 2
([(0,2),(0,3),(0,5),(1,6),(2,6),(3,6),(4,1),(5,4)],7)
=> ? ∊ {2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6,6,6,6}
([(0,3),(0,4),(1,6),(2,6),(3,6),(4,5),(5,1),(5,2)],7)
=> ? ∊ {2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6,6,6,6}
([(0,4),(1,6),(2,6),(3,6),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3)],7)
=> ? ∊ {2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6,6,6,6}
([(0,1),(0,2),(0,3),(0,4),(1,6),(2,6),(3,5),(4,5),(5,6)],7)
=> ? ∊ {2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6,6,6,6}
([(0,2),(0,3),(0,4),(1,5),(2,6),(3,6),(4,5),(6,1)],7)
=> ? ∊ {2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6,6,6,6}
([(0,3),(0,4),(1,5),(2,5),(3,6),(4,6),(6,1),(6,2)],7)
=> 2
([(0,1),(0,2),(0,3),(0,4),(1,6),(2,6),(3,6),(4,5),(6,5)],7)
=> ? ∊ {2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6,6,6,6}
([(0,2),(0,3),(0,4),(2,6),(3,6),(4,6),(5,1),(6,5)],7)
=> ? ∊ {2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6,6,6,6}
([(0,2),(0,3),(0,4),(0,5),(2,6),(3,6),(4,6),(5,6),(6,1)],7)
=> ? ∊ {2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6,6,6,6}
([(0,2),(0,3),(0,4),(1,6),(2,5),(3,5),(4,1),(5,6)],7)
=> ? ∊ {2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6,6,6,6}
([(0,1),(0,2),(0,3),(1,5),(2,4),(3,4),(3,5),(4,6),(5,6)],7)
=> ? ∊ {2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6,6,6,6}
([(0,2),(0,3),(2,6),(3,6),(4,1),(5,4),(6,5)],7)
=> 1
([(0,2),(0,3),(0,4),(2,6),(3,5),(4,5),(5,6),(6,1)],7)
=> ? ∊ {2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6,6,6,6}
([(0,2),(0,3),(0,4),(1,5),(2,6),(3,6),(4,1),(4,6),(6,5)],7)
=> ? ∊ {2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6,6,6,6}
([(0,3),(0,4),(0,5),(1,6),(3,6),(4,6),(5,1),(6,2)],7)
=> ? ∊ {2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6,6,6,6}
([(0,3),(0,4),(0,5),(1,6),(2,6),(3,6),(4,2),(5,1)],7)
=> ? ∊ {2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6,6,6,6}
([(0,2),(0,3),(0,4),(1,6),(2,6),(3,5),(4,1),(4,5),(5,6)],7)
=> ? ∊ {2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6,6,6,6}
([(0,2),(0,4),(1,6),(2,5),(3,1),(4,3),(4,5),(5,6)],7)
=> ? ∊ {2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6,6,6,6}
([(0,3),(0,4),(2,6),(3,5),(4,2),(4,5),(5,6),(6,1)],7)
=> 2
([(0,3),(0,4),(1,5),(2,5),(3,6),(4,2),(4,6),(6,1)],7)
=> ? ∊ {2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6,6,6,6}
([(0,4),(0,5),(1,6),(2,6),(3,6),(4,3),(5,1),(5,2)],7)
=> ? ∊ {2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6,6,6,6}
([(0,3),(0,4),(1,6),(2,6),(3,5),(4,1),(4,2),(4,5),(5,6)],7)
=> ? ∊ {2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6,6,6,6}
([(0,5),(1,6),(2,6),(3,4),(4,2),(5,1),(5,3)],7)
=> ? ∊ {2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6,6,6,6}
([(0,3),(0,4),(1,6),(2,5),(3,5),(4,1),(4,2),(5,6)],7)
=> ? ∊ {2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6,6,6,6}
([(0,5),(1,6),(2,6),(4,2),(5,1),(5,4),(6,3)],7)
=> ? ∊ {2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6,6,6,6}
([(0,4),(0,5),(1,6),(2,6),(4,6),(5,1),(5,2),(6,3)],7)
=> ? ∊ {2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6,6,6,6}
([(0,3),(0,4),(1,6),(2,6),(3,2),(3,5),(4,1),(4,5),(5,6)],7)
=> ? ∊ {2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6,6,6,6}
([(0,3),(0,4),(1,6),(2,5),(3,2),(4,1),(4,5),(5,6)],7)
=> ? ∊ {2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6,6,6,6}
([(0,2),(0,5),(1,6),(2,6),(3,4),(4,1),(5,3)],7)
=> ? ∊ {2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6,6,6,6}
([(0,4),(1,6),(2,6),(3,5),(4,3),(5,1),(5,2)],7)
=> 1
([(0,6),(2,3),(3,5),(4,2),(5,1),(6,4)],7)
=> 0
([(0,4),(1,6),(2,6),(4,5),(5,1),(5,2),(6,3)],7)
=> 1
Description
The number of 2-regular simple modules in the incidence algebra of the lattice.
Matching statistic: St000718
(load all 3 compositions to match this statistic)
(load all 3 compositions to match this statistic)
Values
([(0,2),(2,1)],3)
=> ([(0,2),(2,1)],3)
=> ([(0,2),(1,2)],3)
=> ([(0,1)],2)
=> 2 = 0 + 2
([(0,1),(0,2),(1,3),(2,3)],4)
=> ([(0,1),(0,2),(1,3),(2,3)],4)
=> ([(0,2),(0,3),(1,2),(1,3)],4)
=> ([(0,1)],2)
=> 2 = 0 + 2
([(0,3),(2,1),(3,2)],4)
=> ([(0,3),(2,1),(3,2)],4)
=> ([(0,3),(1,2),(2,3)],4)
=> ([(0,3),(1,2),(2,3)],4)
=> ? = 1 + 2
([(0,1),(0,2),(0,3),(1,4),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(0,1),(0,2),(0,3),(1,4),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(0,3),(0,4),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)],5)
=> ([(0,1)],2)
=> 2 = 0 + 2
([(0,2),(0,3),(1,4),(2,4),(3,1)],5)
=> ([(0,2),(0,3),(1,4),(2,4),(3,1)],5)
=> ([(0,3),(0,4),(1,2),(1,4),(2,3)],5)
=> ([(0,3),(0,4),(1,2),(1,4),(2,3)],5)
=> ? ∊ {1,1,2,4} + 2
([(0,3),(1,4),(2,4),(3,1),(3,2)],5)
=> ([(0,3),(1,4),(2,4),(3,1),(3,2)],5)
=> ([(0,4),(1,2),(1,3),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(0,3),(1,2),(2,3)],4)
=> ? ∊ {1,1,2,4} + 2
([(0,4),(2,3),(3,1),(4,2)],5)
=> ([(0,4),(2,3),(3,1),(4,2)],5)
=> ([(0,4),(1,3),(2,3),(2,4)],5)
=> ([(0,4),(1,3),(2,3),(2,4)],5)
=> ? ∊ {1,1,2,4} + 2
([(0,2),(0,3),(2,4),(3,4),(4,1)],5)
=> ([(0,2),(0,3),(2,4),(3,4),(4,1)],5)
=> ([(0,4),(1,2),(1,3),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(0,3),(1,2),(2,3)],4)
=> ? ∊ {1,1,2,4} + 2
([(0,1),(0,2),(0,3),(0,4),(1,5),(2,5),(3,5),(4,5)],6)
=> ([(0,1),(0,2),(0,3),(0,4),(1,5),(2,5),(3,5),(4,5)],6)
=> ([(0,4),(0,5),(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5)],6)
=> ([(0,1)],2)
=> 2 = 0 + 2
([(0,2),(0,3),(0,4),(1,5),(2,5),(3,5),(4,1)],6)
=> ([(0,2),(0,3),(0,4),(1,5),(2,5),(3,5),(4,1)],6)
=> ([(0,1),(0,5),(1,4),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5)],6)
=> ([(0,3),(0,4),(1,2),(1,4),(2,3)],5)
=> ? ∊ {1,1,1,2,3,4,4,4,4,5,5} + 2
([(0,3),(0,4),(1,5),(2,5),(3,5),(4,1),(4,2)],6)
=> ([(0,3),(0,4),(1,5),(2,5),(3,5),(4,1),(4,2)],6)
=> ([(0,1),(0,5),(1,4),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5)],6)
=> ([(0,3),(0,4),(1,2),(1,4),(2,3)],5)
=> ? ∊ {1,1,1,2,3,4,4,4,4,5,5} + 2
([(0,4),(1,5),(2,5),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3)],6)
=> ([(0,4),(1,5),(2,5),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3)],6)
=> ([(0,5),(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5)],6)
=> ([(0,3),(1,2),(2,3)],4)
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Description
The largest Laplacian eigenvalue of a graph if it is integral.
This statistic is undefined if the largest Laplacian eigenvalue of the graph is not integral.
Various results are collected in Section 3.9 of [1]
Matching statistic: St001644
Values
([(0,2),(2,1)],3)
=> ([(0,2),(2,1)],3)
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=> 2 = 0 + 2
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=> ? ∊ {0,4} + 2
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=> 5 = 3 + 2
Description
The dimension of a graph.
The dimension of a graph is the least integer $n$ such that there exists a representation of the graph in the Euclidean space of dimension $n$ with all vertices distinct and all edges having unit length. Edges are allowed to intersect, however.
Matching statistic: St000454
(load all 2 compositions to match this statistic)
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Values
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([(0,2),(0,5),(1,6),(2,6),(3,4),(4,1),(5,3)],7)
=> ([(0,2),(0,5),(1,6),(2,6),(3,4),(4,1),(5,3)],7)
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=> 4 = 3 + 1
([(0,4),(0,5),(1,6),(2,6),(3,2),(4,3),(5,1)],7)
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=> 4 = 3 + 1
Description
The largest eigenvalue of a graph if it is integral.
If a graph is $d$-regular, then its largest eigenvalue equals $d$. One can show that the largest eigenvalue always lies between the average degree and the maximal degree.
This statistic is undefined if the largest eigenvalue of the graph is not integral.
Matching statistic: St000909
Values
([(0,2),(2,1)],3)
=> ([(0,2),(2,1)],3)
=> ([(0,3),(2,1),(3,2)],4)
=> ([(0,3),(2,1),(3,2)],4)
=> 1 = 0 + 1
([(0,1),(0,2),(1,3),(2,3)],4)
=> ([(0,1),(0,2),(1,3),(2,3)],4)
=> ([(0,4),(1,5),(2,5),(4,1),(4,2),(5,3)],6)
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=> ? ∊ {1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6,6,6,6} + 1
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=> ([(0,7),(2,4),(3,2),(4,6),(5,3),(6,1),(7,5)],8)
=> 1 = 0 + 1
Description
The number of maximal chains of maximal size in a poset.
Matching statistic: St000095
Values
([(0,2),(2,1)],3)
=> ([(0,2),(2,1)],3)
=> ([],3)
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=> ([(0,2),(0,3),(1,4),(2,4),(3,1)],5)
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=> 2
([(0,3),(1,4),(2,4),(3,1),(3,2)],5)
=> ([(0,3),(1,4),(2,4),(3,1),(3,2)],5)
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=> ([(0,2),(0,3),(2,4),(3,4),(4,1)],5)
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=> 1
([(0,1),(0,2),(0,3),(0,4),(1,5),(2,5),(3,5),(4,5)],6)
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=> ? ∊ {0,1,1,1,2,2,2,3,3,4,4,4,4,5,5}
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([(0,2),(0,4),(1,5),(2,5),(3,1),(4,3)],6)
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=> ? ∊ {0,1,1,1,2,2,2,3,3,4,4,4,4,5,5}
([(0,3),(1,5),(2,5),(3,4),(4,1),(4,2)],6)
=> ([(0,3),(1,5),(2,5),(3,4),(4,1),(4,2)],6)
=> ([(4,5)],6)
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=> ? ∊ {0,1,1,1,2,2,2,3,3,4,4,4,4,5,5}
([(0,1),(0,2),(0,3),(1,5),(2,4),(3,4),(4,5)],6)
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=> ? ∊ {0,1,1,1,2,2,2,3,3,4,4,4,4,5,5}
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=> ? ∊ {0,1,1,1,2,2,2,3,3,4,4,4,4,5,5}
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=> ? ∊ {0,1,1,1,2,2,2,3,3,4,4,4,4,5,5}
([(0,2),(0,3),(1,5),(2,4),(3,1),(3,4),(4,5)],6)
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([(0,3),(0,4),(1,5),(3,5),(4,1),(5,2)],6)
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([(0,5),(1,6),(2,6),(3,6),(5,1),(5,2),(5,3),(6,4)],7)
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Description
The number of triangles of a graph.
A triangle $T$ of a graph $G$ is a collection of three vertices $\{u,v,w\} \in G$ such that they form $K_3$, the complete graph on three vertices.
Matching statistic: St000264
Values
([(0,2),(2,1)],3)
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=> ([(0,4),(1,2),(1,3),(2,4),(3,4)],5)
=> 4
Description
The girth of a graph, which is not a tree.
This is the length of the shortest cycle in the graph.
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